Algebravorstufe Beispiele

$\log (5 - x) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - x^{3})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\frac{5 - x}{{(35 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$5 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 1.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 5$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 5$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log (5 - (3)) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - {(3)}^{3})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \log (5 - 3) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - {(3)}^{3})$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (3) = \log (2) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - {(3)}^{3})$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \log (2) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - 1 \cdot 27)$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (3) = \log (2) - \frac{1}{3} \cdot \log (35 - 27)$

Schritt 2.2.1.4

Subtrahiere $27$ von $35$ .

$f (3) = \log (2) - \frac{1}{3} \cdot \log (8)$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{3} \log (8)$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Stelle $\log (8)$ und $\frac{1}{3}$ um.

$f (3) = \log (2) - (\frac{1}{3} \cdot \log (8))$

Schritt 2.2.1.5.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \log (8)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \log (2) - \log (8^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (3) = \log (2) - \log ({(2^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.1.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \log (2) - \log (2^{3 (\frac{1}{3})})$

Schritt 2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = \log (2) - \log (2^{3 (\frac{1}{3})})$

Schritt 2.2.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = \log (2) - \log (2)$

Schritt 2.2.1.9

Berechne den Exponenten.

$f (3) = \log (2) - \log (2)$

Schritt 2.2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (3) = \log (\frac{2}{2})$

Schritt 2.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (3) = \log (1)$

Schritt 2.2.4

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$f (3) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 5$ und den Punkten $(3, 0)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 4