Algebravorstufe Beispiele

$r = (5 + n) (150 - 10 n)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $(5 + x) (150 - 10 x)$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1.1

Multipliziere $(5 + x) (150 - 10 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (150 - 10 x) + x (150 - 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x (150 - 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 150 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $150$ .

$750 + 5 (- 10 x) + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$750 - 50 x + x \cdot 150 + x (- 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.3

Bringe $150$ auf die linke Seite von $x$ .

$750 - 50 x + 150 \cdot x + x (- 10 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$750 - 50 x + 150 x - 10 x \cdot x$

Schritt 1.1.1.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$750 - 50 x + 150 x - 10 (x \cdot x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$750 - 50 x + 150 x - 10 x^{2}$

Schritt 1.1.1.1.2.2

Addiere $- 50 x$ und $150 x$ .

$750 + 100 x - 10 x^{2}$

Schritt 1.1.1.1.3

Bewege $750$ .

$100 x - 10 x^{2} + 750$

Schritt 1.1.1.1.4

Stelle $100 x$ und $- 10 x^{2}$ um.

$- 10 x^{2} + 100 x + 750$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 10$

$b = 100$

$c = 750$

Schritt 1.1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{100}{2 \cdot - 10}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 10)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 10}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{50}{- 10}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $- 10$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $50$ heraus.

$d = \frac{10 (5)}{- 10}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 750 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 10}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$e = 750 - \frac{10000}{4 \cdot - 10}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$e = 750 - \frac{10000}{- 40}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $- 40$ .

$e = 750 - - 250$

Schritt 1.1.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 250$ .

$e = 750 + 250$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Addiere $750$ und $250$ .

$e = 1000$

Schritt 1.1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$ ein.

$- 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 10 {(x - 5)}^{2} + 1000$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 10$

$h = 5$

$k = 1000$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(5, 1000)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 10}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$\frac{1}{- 40}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{40}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, \frac{39999}{40})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 5$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{40001}{40}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, 1000)$

Brennpunkt: $(5, \frac{39999}{40})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = \frac{40001}{40}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, 1000)$

Brennpunkt: $(5, \frac{39999}{40})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = \frac{40001}{40}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (4) = (5 + 4) (150 - 10 \cdot 4)$

Schritt 2.2.2

Addiere $5$ und $4$ .

$f (4) = 9 (150 - 10 \cdot 4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$f (4) = 9 (150 - 40)$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $40$ von $150$ .

$f (4) = 9 \cdot 110$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $110$ .

$f (4) = 990$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $990$ .

$990$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $990$ .

$y = 990$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Entferne die Klammern.

$f (6) = (5 + 6) (150 - 10 \cdot 6)$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ und $6$ .

$f (6) = 11 (150 - 10 \cdot 6)$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $6$ .

$f (6) = 11 (150 - 60)$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $60$ von $150$ .

$f (6) = 11 \cdot 90$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $11$ mit $90$ .

$f (6) = 990$

Schritt 2.5.6

Die endgültige Lösung ist $990$ .

$990$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $990$ .

$y = 990$

Schritt 2.7

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(5, 1000)$

Brennpunkt: $(5, \frac{39999}{40})$

Symmetrieachse: $x = 5$

Leitlinie: $y = \frac{40001}{40}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 990 \\ 5 & 1000 \\ 6 & 990 \end{array}$

Schritt 4