Algebravorstufe Beispiele

$y = \ln (9 - x^{2})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$9 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 3, x = - 3$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 3, x = - 3$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln (9 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \ln (9 - 0)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \ln (9 + 0)$

Schritt 2.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$f (0) = \ln (9)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (9)$ nach Dezimal.

$y = 2.19722457$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (9 - {(1)}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (9 - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (9 - 1)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$f (1) = \ln (8)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (8)$ nach Dezimal.

$y = 2.07944154$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (9 - {(2)}^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (9 - 1 \cdot 4)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = \ln (9 - 4)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f (2) = \ln (5)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (5)$ nach Dezimal.

$y = 1.60943791$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 3, x = - 3$ und den Punkten $(0, 2.19722457), (1, 2.07944154), (2, 1.60943791)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 3, x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2.197 \\ 1 & 2.079 \\ 2 & 1.609 \end{array}$

Schritt 6