Algebravorstufe Beispiele

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 1

Vereinfache $- \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(y - 2)}^{2}$ als $(y - 2) (y - 2)$ um.

$x = - \frac{1}{5} \cdot ((y - 2) (y - 2)) - 4$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y (y - 2) - 2 (y - 2)) - 4$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) - 4$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) - 4$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 4 y + 4) - 4$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{5} y^{2} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Schritt 1.1.5.2

Multipliziere $- \frac{1}{5} (- 4 y)$ .

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Schritt 1.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + 4 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Schritt 1.1.5.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4}{5} y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Schritt 1.1.5.2.3

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere $- \frac{1}{5} \cdot 4$ .

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Schritt 1.1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - 4 (\frac{1}{5}) - 4$

Schritt 1.1.5.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4}{5} - 4$

Schritt 1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4$

Schritt 1.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 20}{5}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $20$ von $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 24}{5}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{4}{5}$

$c = - \frac{24}{5}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{4}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{2}{5 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = \frac{2}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 5}{5}}$

Schritt 2.1.1.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{24}{5} - \frac{{(\frac{4}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{4^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} (- \frac{5}{4}))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 (4)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 \cdot 4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{25} \cdot - 5)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 (5)} \cdot - 5)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5} \cdot - 1)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.7

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{4 \cdot - 1}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{- 4}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{24}{5} - - \frac{4}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.10

Multipliziere $- - \frac{4}{5}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} + 1 (\frac{4}{5})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$e = - \frac{24}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 24 + 4}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Addiere $- 24$ und $4$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $- 20$ durch $5$ .

$e = - 4$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$ ein.

$- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = 2$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Schritt 2.5.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{21}{4}, 2)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{11}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{11}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{11}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $- 6$ in $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 6, 5.16227766)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (- 6) = \sqrt{10} + 2$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{10} + 2$ .

$y = \sqrt{10} + 2$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $\sqrt{10} + 2$ nach Dezimal.

$= 5.16227766$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $- 6$ in $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 6, - 1.16227766)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (- 6) = - \sqrt{10} + 2$

Schritt 3.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{10} + 2$ .

$y = - \sqrt{10} + 2$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $- \sqrt{10} + 2$ nach Dezimal.

$= - 1.16227766$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $- 5$ in $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 5, 4.23606797)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Schritt 3.3.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (- 5) = \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5} + 2$ .

$y = \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $\sqrt{5} + 2$ nach Dezimal.

$= 4.23606797$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $- 5$ in $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 5, - 0.23606797)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Schritt 3.4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Schritt 3.4.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{5} + 2$ .

$y = - \sqrt{5} + 2$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $- \sqrt{5} + 2$ nach Dezimal.

$= - 0.23606797$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{21}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Schritt 5