Algebravorstufe Beispiele

$x = {(y + 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache ${(y + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe ${(y + 1)}^{2}$ als $(y + 1) (y + 1)$ um.

$x = (y + 1) (y + 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(y + 1) (y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = y^{2} + y + y + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$x = y^{2} + 2 y + 1$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 2 y + 1$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 1$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 1 - 1$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} + 0$ ein.

${(y + 1)}^{2} + 0$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y + 1)}^{2} + 0$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 1$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, - 1)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $y = - 1$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, - 1)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $y = - 1$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{x} - 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \sqrt{1} - 1$

Schritt 3.1.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, - 2)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = - \sqrt{1} - 1$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 1$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 - 1$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (1) = - 2$

Schritt 3.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $- 2$ nach Dezimal.

$= - 2$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \sqrt{x} - 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 0.41421356)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2} - 1$ .

$y = \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $\sqrt{2} - 1$ nach Dezimal.

$= 0.41421356$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - \sqrt{x} - 1$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 2.41421356)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = - \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2} - 1$ .

$y = - \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $- \sqrt{2} - 1$ nach Dezimal.

$= - 2.41421356$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, - 1)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Symmetrieachse: $y = - 1$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 0.41 \\ 2 & - 2.41 \end{array}$

Schritt 5