Algebravorstufe Beispiele

$x = y^{2} - 4 y + 1$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 4 y + 1$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 1$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 1 - 4$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$e = - 3$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 2)}^{2} - 3$ ein.

${(y - 2)}^{2} - 3$

Schritt 1.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y - 2)}^{2} - 3$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 2$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 2)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{11}{4}, 2)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{13}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 3)$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - (- 2))}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 + 2)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{1}$

Schritt 2.1.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = 2 + 1$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- 2) = 3$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.1.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 1)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - (- 2))}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 + 2)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{1}$

Schritt 2.2.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 2) = 2 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (- 2) = 1$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 3.41421356)$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 - (- 1))}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 3 + 1)}$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 1) = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 2.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 2.3.3

Konvertiere $2 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 3.41421356$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 0.58578643)$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 - (- 1))}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 3 + 1)}$

Schritt 2.4.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 1) = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.4.3

Konvertiere $2 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 0.58578643$

Schritt 2.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 0.59 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 0.59 \end{array}$

Schritt 4