Algebravorstufe Beispiele

$x = - 2 y^{2} - 8 y - 14$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 y^{2} - 8 y - 14$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = - 14$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 14 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{- 8}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $- 8$ .

$e = - 14 - - 8$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$e = - 14 + 8$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Addiere $- 14$ und $8$ .

$e = - 6$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$ ein.

$- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Schritt 1.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = - 6$

$k = - 2$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, - 2)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{49}{8}, - 2)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{47}{8}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, - 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - \frac{47}{8}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, - 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - \frac{47}{8}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, - 3)$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $- 6$ und $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 8) = - \frac{4 + 2}{2}$

Schritt 2.1.2.1.6

Addiere $4$ und $2$ .

$f (- 8) = - \frac{6}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.2.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 8) = - 3$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 2.1.3

Konvertiere $- 3$ nach Dezimal.

$= - 3$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, - 1)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $- 6$ und $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 8) = - \frac{4 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - 2}{2}$

Schritt 2.2.2.1.7

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 8) = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 8) = - 1$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 2.2.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $- 7$ in $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 7, - 2.70710678)$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3

Konvertiere $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= - 2.70710678$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $- 7$ in $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 7, - 1.29289321)$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.3

Konvertiere $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= - 1.29289321$

Schritt 2.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, - 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - \frac{47}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Schritt 4