Algebravorstufe Beispiele

$- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = y^{2} - 8 y + 40$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 4$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (1)} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 y}{1} + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.2.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y + \frac{40}{- 4}$

Schritt 1.3.1.3

Dividiere $40$ durch $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{4} + 2 y - 10$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = - 10$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - (1 \cdot 4)$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Multipliziere $- (1 \cdot 4)$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 10 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - 10 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 10 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 10 - \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$e = - 10 - - 4$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = - 10 + 4$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $- 10$ und $4$ .

$e = - 6$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 6$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 6$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 6$

$k = 4$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, 4)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 7, 4)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 4$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 5$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, 4)$

Brennpunkt: $(- 7, 4)$

Symmetrieachse: $y = 4$

Leitlinie: $x = - 5$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, 4)$

Brennpunkt: $(- 7, 4)$

Symmetrieachse: $y = 4$

Leitlinie: $x = - 5$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, 6.82842712)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Schritt 3.1.2.1.2

Addiere $- 6$ und $8$ .

$f (- 8) = 4 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $4 + 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 6.82842712$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $- 8$ in $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 8, 1.17157287)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 8)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $- 6$ und $8$ .

$f (- 8) = 4 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 4 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $4 - 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 1.17157287$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $- 7$ in $f (x) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 7, 6)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \sqrt{1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2 \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 7) = 4 + 2$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$f (- 7) = 6$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $6$ nach Dezimal.

$= 6$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $- 7$ in $f (x) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 7, 2)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 - (- 7)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{- 6 + 7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \sqrt{1}$

Schritt 3.4.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 7) = 4 - 2$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (- 7) = 2$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$= 2$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 6, 4)$

Brennpunkt: $(- 7, 4)$

Symmetrieachse: $y = 4$

Leitlinie: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 6.83 \\ - 8 & 1.17 \\ - 7 & 6 \\ - 7 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Schritt 5