Algebravorstufe Beispiele

$4 x - 2 x^{2} + 6$

Schritt 1

Stelle $4 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$y = - 2 x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 x^{2} + 4 x + 6$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = 4$

$c = 6$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{- 2}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 (1)}{- 2}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 6 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot - 2$ heraus.

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 6 - \frac{4}{- 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 2$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = 6 - \frac{2 (2)}{- 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$e = 6 - (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 6 - - 2$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$e = 6 + 2$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $6$ und $2$ .

$e = 8$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(x - 1)}^{2} + 8$ ein.

$- 2 {(x - 1)}^{2} + 8$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 8$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = 1$

$k = 8$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, 8)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, \frac{63}{8})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{65}{8}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 8)$

Brennpunkt: $(1, \frac{63}{8})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{65}{8}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 8)$

Brennpunkt: $(1, \frac{63}{8})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{65}{8}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} + 4 (0) + 6$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 4 (0) + 6$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0) + 6$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (0) = 6$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 6$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 + 4 (- 1) + 6$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 4 (- 1) + 6$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 4 + 6$

Schritt 3.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f (- 1) = - 6 + 6$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) + 6$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 4 (2) + 6$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (2) = - 8 + 4 (2) + 6$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2) = - 8 + 8 + 6$

Schritt 3.8.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.8.2.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (2) = 0 + 6$

Schritt 3.8.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (2) = 6$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 4 (3) + 6$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 4 (3) + 6$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$f (3) = - 18 + 4 (3) + 6$

Schritt 3.11.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (3) = - 18 + 12 + 6$

Schritt 3.11.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.11.2.1

Addiere $- 18$ und $12$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Schritt 3.11.2.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (3) = 0$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 0 & 6 \\ 1 & 8 \\ 2 & 6 \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 8)$

Brennpunkt: $(1, \frac{63}{8})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{65}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 0 & 6 \\ 1 & 8 \\ 2 & 6 \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 5