Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y - 107 = 0$

Schritt 1

Addiere $107$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y = 107$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 6 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 3)}^{2} - 9$ ein.

${(x - 3)}^{2} - 9$

Schritt 4

Setze ${(x - 3)}^{2} - 9$ für $x^{2} - 6 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Schritt 5

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + y = \frac{107}{4} + 9$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $y^{2} + y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{107}{4} + 9$

Schritt 8

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$

Schritt 9

Vereinfache $\frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{107 + 1}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Addiere $107$ und $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{108}{4}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $108$ durch $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + 27$

Schritt 9.2.3

Addiere $9$ und $27$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 36$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 6$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(3, - \frac{1}{2})$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(3, - \frac{1}{2})$

Radius: $6$

Schritt 14