Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} - 16 y^{2} - 56 x + 160 y - 268 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $268$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 16 y^{2} - 56 x + 160 y = 268$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 56 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 56$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 56}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 56$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 56$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 28}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 28}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 28}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 28}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 28$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 28$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 7}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 7}{4 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 7}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$d = - 7$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 56)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 56$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{3136}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{3136}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $3136$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 196$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $196$ .

$e = 0 - 196$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $196$ von $0$ .

$e = - 196$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - 7)}^{2} - 196$ ein.

$4 {(x - 7)}^{2} - 196$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x - 7)}^{2} - 196$ für $4 x^{2} - 56 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - 16 y^{2} - 56 x + 160 y = 268$ .

$4 {(x - 7)}^{2} - 196 - 16 y^{2} + 160 y = 268$

Schritt 1.4

Bringe $- 196$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $196$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 7)}^{2} - 16 y^{2} + 160 y = 268 + 196$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 16 y^{2} + 160 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 16$

$b = 160$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{160}{2 \cdot - 16}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $160$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $160$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (- 16)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 16}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{80}{- 16}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $- 16$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$d = \frac{16 (5)}{- 16}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot - 16}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $160$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot - 16}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{- 64}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $25600$ durch $- 64$ .

$e = 0 - - 400$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $400$ .

$e = 400$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 16 {(y - 5)}^{2} + 400$ ein.

$- 16 {(y - 5)}^{2} + 400$

Schritt 1.6

Setze $- 16 {(y - 5)}^{2} + 400$ für $- 16 y^{2} + 160 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - 16 y^{2} - 56 x + 160 y = 268$ .

$4 {(x - 7)}^{2} - 16 {(y - 5)}^{2} + 400 = 268 + 196$

Schritt 1.7

Bringe $400$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $400$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 7)}^{2} - 16 {(y - 5)}^{2} = 268 + 196 - 400$

Schritt 1.8

Vereinfache $268 + 196 - 400$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $268$ und $196$ .

$4 {(x - 7)}^{2} - 16 {(y - 5)}^{2} = 464 - 400$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $400$ von $464$ .

$4 {(x - 7)}^{2} - 16 {(y - 5)}^{2} = 64$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $64$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - 7)}^{2}}{64} - \frac{16 {(y - 5)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 5$

$h = 7$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(7, 5)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Schritt 5.3.3

Addiere $16$ und $4$ .

$\sqrt{20}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{4 (5)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(11, 5)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 5)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(11, 5), (3, 5)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7 + 2 \sqrt{5}, 5)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7 - 2 \sqrt{5}, 5)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(7 + 2 \sqrt{5}, 5), (7 - 2 \sqrt{5}, 5)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{2}$ und $2$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (7)) + 5$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (7)) + 5$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x - (7)) + 5$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - 7) + 5$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 7 + 5$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 7 + 5$

Schritt 11.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 7$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7}{2} + 5$

Schritt 11.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 5$

Schritt 11.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 10}{2}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $- 7$ und $10$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (7)) + 5$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - (7)) + 5$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 7) + 5$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 7 + 5$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 7 + 5$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 7$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 7 (\frac{1}{2}) + 5$

Schritt 12.2.1.4.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2} + 5$

Schritt 12.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7 + 10}{2}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $7$ und $10$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{17}{2}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, y = - \frac{x}{2} + \frac{17}{2}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(7, 5)$

Scheitelpunkte: $(11, 5), (3, 5)$

Brennpunkte: $(7 + 2 \sqrt{5}, 5), (7 - 2 \sqrt{5}, 5)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Fokaler Parameter: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ , $y = - \frac{x}{2} + \frac{17}{2}$

Schritt 15