Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $81$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Schritt 5.3.6

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.7

Kombiniere $- 9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Schritt 5.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Schritt 5.3.9.2

Subtrahiere $36$ von $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Schritt 5.3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ als $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.11.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.11.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.11.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.7

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $- 9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.10.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.10.2

Subtrahiere $36$ von $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.11

Schreibe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ als $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.12.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.3.12.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.12.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.13.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.14.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Schritt 8.3.14.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Schritt 8.3.14.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 8.3.14.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.14.3

Kombiniere $\sqrt{5}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 10