Algebravorstufe Beispiele

$4 x + y^{2} = 25$

Schritt 1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 25 - y^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 25 - y^{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 25 - y^{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Stelle $\frac{25}{4}$ und $- \frac{y^{2}}{4}$ um.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$ an.

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Schritt 3.1.2.3.2.3

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Schritt 3.1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$d = 0$

Schritt 3.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{25}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.4

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$e = \frac{25}{4} - 0$

Schritt 3.1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = \frac{25}{4} + 0$

Schritt 3.1.2.4.2.2

Addiere $\frac{25}{4}$ und $0$ .

$e = \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{25}{4}$

$k = 0$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{25}{4}, 0)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 3.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 3.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 3.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{21}{4}, 0)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{29}{4}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(\frac{25}{4}, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{21}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(\frac{25}{4}, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{21}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $4.25$ in $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4.25, \sqrt{8})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.25$ .

$f (4.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4.25$ .

$f (4.25) = \sqrt{25 - 17}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $17$ von $25$ .

$f (4.25) = \sqrt{8}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{8}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $4.25$ in $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4.25, - \sqrt{8})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4.25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 17}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $17$ von $25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{8}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{8}$ .

$y = - \sqrt{8}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $5.25$ in $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5.25, 2)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5.25$ .

$f (5.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5.25$ .

$f (5.25) = \sqrt{25 - 21}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $21$ von $25$ .

$f (5.25) = \sqrt{4}$

Schritt 4.3.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (5.25) = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (5.25) = 2$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $5.25$ in $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5.25, - 2)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5.25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5.25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 21}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $21$ von $25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{4}$

Schritt 4.4.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (5.25) = - \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (5.25) = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (5.25) = - 2$

Schritt 4.4.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(\frac{25}{4}, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{21}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Schritt 6