Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} + 8 y^{2} = 36$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{5 x^{2}}{36} + \frac{8 y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{36}{5}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{2}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$

$b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{{(6 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $6 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{6^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{36 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{1}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{180}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $180$ und $25$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $180$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (36)}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{4}}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{18}{4}}$

Schritt 5.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 5.3.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 (9)}{4}}$

Schritt 5.3.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9}{2}}$

Schritt 5.3.7

Um $\frac{36}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}}$

Schritt 5.3.8

Um $- \frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{36}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.9.3

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 5}}$

Schritt 5.3.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{10}}$

Schritt 5.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2 - 9 \cdot 5}{10}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.11.1

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{72 - 9 \cdot 5}{10}}$

Schritt 5.3.11.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{72 - 45}{10}}$

Schritt 5.3.11.3

Subtrahiere $45$ von $72$ .

$\sqrt{\frac{27}{10}}$

Schritt 5.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{10}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$ um.

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$

Schritt 5.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.13.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.13.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{10}}$

Schritt 5.3.13.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{10}}$

Schritt 5.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Schritt 5.3.14

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 5.3.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.15.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 5.3.15.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 5.3.15.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 5.3.15.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.15.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 5.3.15.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 5.3.15.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.15.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.15.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.15.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.15.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.15.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 5.3.15.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Schritt 5.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.16.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{10 \cdot 3}}{10}$

Schritt 5.3.16.2

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{6 \sqrt{5}}{5}), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{30}}{10}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{5}}{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{{(6 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Produktregel auf $6 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{6^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{36 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{1}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{180}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $180$ und $25$ .

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Schritt 8.3.4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $180$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (36)}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.5.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{18}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 8.3.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 (9)}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9}{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.8

Um $\frac{36}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.9

Um $- \frac{9}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{36}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2 - 9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.12.1

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{72 - 9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.12.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{72 - 45}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.12.3

Subtrahiere $45$ von $72$ .

$\sqrt{\frac{27}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{10}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$ um.

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.14.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.14.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.14.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.15

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.15.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.15.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{3 (2 \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.15.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{3 (2 \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.15.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.15.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{\sqrt{10} (2 \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.15.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{2 \sqrt{10 \cdot 5}}$

Schritt 8.3.15.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.15.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{2 \sqrt{50}}$

Schritt 8.3.15.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{50}}$

Schritt 8.3.16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.16.1

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.16.1.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{25 (2)}}$

Schritt 8.3.16.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.16.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.16.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{10 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 8.3.17.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{3})}{10 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.17.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{3})}{5 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{3}}{5 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.18

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.3.19

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.19.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.19.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 8.3.19.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 8.3.19.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.19.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.19.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.19.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.19.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.19.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.19.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.19.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.19.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 8.3.19.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.20.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.21

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 10