Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $5 x^{2} - 27 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$d = \frac{- 27}{10}$

Schritt 1.2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{27}{10}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 27$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 0 - \frac{729}{20}$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{729}{20}$ von $0$ .

$e = - \frac{729}{20}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ ein.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

Schritt 1.3

Setze $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ für $5 x^{2} - 27 x$ ein in der Gleichung $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

Schritt 1.4

Bringe $- \frac{729}{20}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{729}{20}$ auf beiden Seiten.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2} + 16 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{2}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{8}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $256$ durch $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$e = 0 - 32$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $32$ von $0$ .

$e = - 32$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ ein.

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

Schritt 1.6

Setze $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ für $2 y^{2} + 16 y$ ein in der Gleichung $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

Schritt 1.7

Bringe $- 32$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $32$ auf beiden Seiten.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

Schritt 1.8

Vereinfache $19 + \frac{729}{20} + 32$ .

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Schritt 1.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.8.1.1

Schreibe $19$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{19}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{19}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Schritt 1.8.1.4

Schreibe $32$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

Schritt 1.8.1.5

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 1.8.1.6

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $19$ mit $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Schritt 1.8.3.2

Mutltipliziere $32$ mit $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

Schritt 1.8.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.8.4.1

Addiere $380$ und $729$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

Schritt 1.8.4.2

Addiere $1109$ und $640$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $\frac{1749}{20}$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(\frac{27}{10}, - 4)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{17490}}^{2}$ als $17490$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17490}$ als $17490^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $17490$ und $400$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $10$ aus $17490$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $10$ aus $400$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt{1749}}^{2}$ als $1749$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1749}$ als $1749^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

Schritt 5.3.7

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

Schritt 5.3.8

Um $\frac{1749}{40}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

Schritt 5.3.9

Um $- \frac{1749}{100}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $200$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{1749}{40}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.10.2

Mutltipliziere $40$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{1749}{100}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.10.4

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

Schritt 5.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Schritt 5.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.12.1

Mutltipliziere $1749$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Schritt 5.3.12.2

Mutltipliziere $- 1749$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

Schritt 5.3.12.3

Subtrahiere $3498$ von $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

Schritt 5.3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ als $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ um.

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

Schritt 5.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.14.1

Schreibe $5247$ als $3^{2} \cdot 583$ um.

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Schritt 5.3.14.1.1

Faktorisiere $9$ aus $5247$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

Schritt 5.3.14.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

Schritt 5.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

Schritt 5.3.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.15.1

Schreibe $200$ als $10^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.15.1.1

Faktorisiere $100$ aus $200$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

Schritt 5.3.15.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.16

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.17.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.3.17.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.3.17.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.3.17.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.17.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.17.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.17.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.17.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.17.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.17.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.17.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.17.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.3.17.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Schritt 5.3.18

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.18.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

Schritt 5.3.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $583$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

Schritt 5.3.19

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Schritt 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Schritt 6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3

Schreibe ${\sqrt{17490}}^{2}$ als $17490$ um.

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Schritt 8.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17490}$ als $17490^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $17490$ und $400$ .

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $10$ aus $17490$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.5.2.1

Faktorisiere $10$ aus $400$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7

Schreibe ${\sqrt{1749}}^{2}$ als $1749$ um.

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Schritt 8.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1749}$ als $1749^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.8

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.9

Um $\frac{1749}{40}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.10

Um $- \frac{1749}{100}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $200$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{1749}{40}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.11.2

Mutltipliziere $40$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.11.3

Mutltipliziere $\frac{1749}{100}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.11.4

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.13.1

Mutltipliziere $1749$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.13.2

Mutltipliziere $- 1749$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.13.3

Subtrahiere $3498$ von $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.14

Schreibe $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ als $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ um.

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.15.1

Schreibe $5247$ als $3^{2} \cdot 583$ um.

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Schritt 8.3.15.1.1

Faktorisiere $9$ aus $5247$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.15.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.16.1

Schreibe $200$ als $10^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.16.1.1

Faktorisiere $100$ aus $200$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.16.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.16.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 8.3.17.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.1.2

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.2

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Schritt 8.3.17.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

Schritt 8.3.17.5

Mutltipliziere $2$ mit $17490$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

Schritt 8.3.18

Vereinige $\sqrt{583}$ und $\sqrt{34980}$ zu einer einzigen Wurzel.

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

Schritt 8.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $583$ und $34980$ .

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Schritt 8.3.19.1

Faktorisiere $583$ aus $583$ heraus.

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

Schritt 8.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.19.2.1

Faktorisiere $583$ aus $34980$ heraus.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Schritt 8.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Schritt 8.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

Schritt 8.3.20

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{60}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ um.

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

Schritt 8.3.21

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

Schritt 8.3.22

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.22.1

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 8.3.22.1.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

Schritt 8.3.22.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Schritt 8.3.22.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.23

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.23.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.23.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.23.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{15}$ heraus.

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

Schritt 8.3.23.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.23.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

Schritt 8.3.23.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

Schritt 8.3.24

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Schritt 8.3.25

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.25.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.25.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.25.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Schritt 8.3.25.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.25.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 8.3.25.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 8.3.25.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.25.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.25.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.25.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.25.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.25.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

Schritt 8.3.25.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 8.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.26.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

Schritt 8.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.26.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 10