Algebravorstufe Beispiele

$- 3 y^{2} + 12 y - x - 9 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 y - x - 9 = 3 y^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $12 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x - 9 = 3 y^{2} - 12 y$

Schritt 1.3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (3 y^{2})$ als $- (3 y^{2})$ um.

$x = - (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 12 y}{- 1}$ .

$x = - 3 y^{2} - 1 \cdot (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (- 12 y)$ als $- (- 12 y)$ um.

$x = - 3 y^{2} - (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y + \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.3.1.7

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 9$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{- 3}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 3$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 9 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = - 9 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = - 9 - \frac{144}{- 12}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 12$ .

$e = - 9 - - 12$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$e = - 9 + 12$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Addiere $- 9$ und $12$ .

$e = 3$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$ ein.

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = 3$

$k = 2$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Schritt 3.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{35}{12}, 2)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{37}{12}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{35}{12}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{37}{12}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{35}{12}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{37}{12}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 2.81649658)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ nach Dezimal.

$= 2.81649658$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 1.18350341)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ nach Dezimal.

$= 1.18350341$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 2.57735026)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ nach Dezimal.

$= 2.57735026$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 1.42264973)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ nach Dezimal.

$= 1.42264973$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{35}{12}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{37}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Schritt 6