Algebravorstufe Beispiele

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

Schritt 1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $3$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{16}{9}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ ein.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Schritt 4

Setze ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ für $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} + y^{2} + 2 y = 4$

Schritt 5

Bringe $- \frac{4}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{4}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + y^{2} + 2 y = 4 + \frac{4}{9}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 7

Setze ${(y + 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 4 + \frac{4}{9}$

Schritt 8

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 + \frac{4}{9} + 1$

Schritt 9

Vereinfache $4 + \frac{4}{9} + 1$ .

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Schritt 9.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} + \frac{4}{9} + 1$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Schritt 9.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 + 9}{9}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{36 + 4 + 9}{9}$

Schritt 9.3.2

Addiere $36$ und $4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{40 + 9}{9}$

Schritt 9.3.3

Addiere $40$ und $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{49}{9}$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{7}{3}$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - 1$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Radius: $\frac{7}{3}$

Schritt 14