Algebravorstufe Beispiele

$3 \sin (x - 3.14) - 1$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 3$

$b = 1$

$c = 3.14$

$d = - 1$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $3 \sin (x - 3.14)$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.1.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $- 1$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$2 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{3.14}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $3.14$ durch $1$ .

Phasenverschiebung: $3.14$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $3.14$ ( $3.14$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 1$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 3.14$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.14$ .

$f (3.14) = 3 \sin ((3.14) - 3.14) - 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Subtrahiere $3.14$ von $3.14$ .

$f (3.14) = 3 \sin (0) - 1$

Schritt 6.1.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

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Schritt 6.1.2.1.2.1

Schreibe $0$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$f (3.14) = 3 \sin (\frac{0}{2}) - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$f (3.14) = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}) - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$f (3.14) = 3 \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}$ .

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Schritt 6.1.2.1.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (3.14) = 3 \sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 1}{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (3.14) = 3 \sqrt{\frac{1 - 1}{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (3.14) = 3 \sqrt{\frac{0}{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (3.14) = 3 \sqrt{0} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (3.14) = 3 \sqrt{0^{2}} - 1$

Schritt 6.1.2.1.2.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3.14) = 3 \cdot 0 - 1$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (3.14) = 0 - 1$

Schritt 6.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (3.14) = - 1$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = 4.71079632$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.71079632$ .

$f (4.71079632) = 3 \sin ((4.71079632) - 3.14) - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $3.14$ von $4.71079632$ .

$f (4.71079632) = 3 \sin (1.57079632) - 1$

Schritt 6.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sin (1.57079632) - 1$ .

$3 \sin (1.57079632) - 1$

Schritt 6.2.3

Wandle $3 \sin (1.57079632) - 1$ in eine Dezimalzahl um.

$2$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = 6.28159265$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.28159265$ .

$f (6.28159265) = 3 \sin ((6.28159265) - 3.14) - 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $3.14$ von $6.28159265$ .

$f (6.28159265) = 3 \sin (3.14159265) - 1$

Schritt 6.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sin (3.14159265) - 1$ .

$3 \sin (3.14159265) - 1$

Schritt 6.3.3

Wandle $3 \sin (3.14159265) - 1$ in eine Dezimalzahl um.

$- 1$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = 7.85238898$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.85238898$ .

$f (7.85238898) = 3 \sin ((7.85238898) - 3.14) - 1$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $3.14$ von $7.85238898$ .

$f (7.85238898) = 3 \sin (4.71238898) - 1$

Schritt 6.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sin (4.71238898) - 1$ .

$3 \sin (4.71238898) - 1$

Schritt 6.4.3

Wandle $3 \sin (4.71238898) - 1$ in eine Dezimalzahl um.

$- 4$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = 9.4231853$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9.4231853$ .

$f (9.4231853) = 3 \sin ((9.4231853) - 3.14) - 1$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $3.14$ von $9.4231853$ .

$f (9.4231853) = 3 \sin (6.2831853) - 1$

Schritt 6.5.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sin (6.2831853) - 1$ .

$3 \sin (6.2831853) - 1$

Schritt 6.5.3

Wandle $3 \sin (6.2831853) - 1$ in eine Dezimalzahl um.

$- 1$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3.14 & - 1 \\ 4.711 & 2 \\ 6.282 & - 1 \\ 7.852 & - 4 \\ 9.423 & - 1 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $3$

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $3.14$ ( $3.14$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3.14 & - 1 \\ 4.711 & 2 \\ 6.282 & - 1 \\ 7.852 & - 4 \\ 9.423 & - 1 \end{array}$

Schritt 8