Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} + y^{2} - 32 x - 12 y + 84 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $84$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + y^{2} - 32 x - 12 y = - 84$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 32 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 16}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1024$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - 4)}^{2} - 64$ ein.

$4 {(x - 4)}^{2} - 64$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x - 4)}^{2} - 64$ für $4 x^{2} - 32 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + y^{2} - 32 x - 12 y = - 84$ .

$4 {(x - 4)}^{2} - 64 + y^{2} - 12 y = - 84$

Schritt 1.4

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 4)}^{2} + y^{2} - 12 y = - 84 + 64$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 12 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 6)}^{2} - 36$ ein.

${(y - 6)}^{2} - 36$

Schritt 1.6

Setze ${(y - 6)}^{2} - 36$ für $y^{2} - 12 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + y^{2} - 32 x - 12 y = - 84$ .

$4 {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} - 36 = - 84 + 64$

Schritt 1.7

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 84 + 64 + 36$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 84 + 64 + 36$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 84$ und $64$ .

$4 {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 20 + 36$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 20$ und $36$ .

$4 {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $16$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 6$

$h = 4$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(4, 6)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$\sqrt{12}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{4 (3)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(4, 6 + 4)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(4, 10)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(4, 6 - (4))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(4, 2)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(4, 6 + 2 \sqrt{3})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(4, 6 - (2 \sqrt{3}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(4, 6 - 2 \sqrt{3})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - 2 \sqrt{3})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Schritt 8.3.1.4

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Schritt 8.3.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Schritt 8.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(4, 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - 2 \sqrt{3})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10