Algebravorstufe Beispiele

$3 x = y^{2} - 2 y + 7$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{7}{3}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{3}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{- 1}{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.1.1.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{7 - 1}{3}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$e = \frac{6}{3}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $6$ durch $3$ .

$e = 2$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$ ein.

$\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y - 1)}^{2} + 2$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 1$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 2.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{11}{4}, 1)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(2, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{5}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(2, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{5}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, 2.7320508)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3}$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1 + \sqrt{3}$ .

$y = 1 + \sqrt{3}$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $1 + \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= 2.7320508$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, - 0.7320508)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1 - \sqrt{3}$ .

$y = 1 - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $1 - \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= - 0.7320508$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, 3.44948974)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{6}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1 + \sqrt{6}$ .

$y = 1 + \sqrt{6}$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $1 + \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= 3.44948974$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, - 1.44948974)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{6}$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1 - \sqrt{6}$ .

$y = 1 - \sqrt{6}$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $1 - \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= - 1.44948974$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(2, 1)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 1)$

Symmetrieachse: $y = 1$

Leitlinie: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Schritt 5