Algebravorstufe Beispiele

$3 - 15 y - 5 y = 6 x^{2} + 7 x$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $5 y$ von $- 15 y$ .

$3 - 20 y = 6 x^{2} + 7 x$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 y = 6 x^{2} + 7 x - 3$

Schritt 1.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 20 y = 6 x^{2} + 7 x - 3$ durch $- 20$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 y = 6 x^{2} + 7 x - 3$ durch $- 20$ .

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{6 x^{2}}{- 20} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{6 x^{2}}{- 20} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{- 20} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 20$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (3 x^{2})}{- 20} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (- 10)} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot - 10} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x^{2}}{- 10} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x^{2}}{10} + \frac{7 x}{- 20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x^{2}}{10} - \frac{7 x}{20} + \frac{- 3}{- 20}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{3 x^{2}}{10} - \frac{7 x}{20} + \frac{3}{20}$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{3 x^{2}}{10} - \frac{7 x}{20} + \frac{3}{20}$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{3}{10}$

$b = - \frac{7}{20}$

$c = \frac{3}{20}$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{7}{20}}{2 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{7}{20}}{2 (\frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{10}$ .

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{10}}$

Schritt 1.1.2.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{6}{10}}$

Schritt 1.1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{10}}$

Schritt 1.1.2.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.1.2.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.1.2.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{\frac{3}{5}}$

Schritt 1.1.2.3.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{7}{20} (1 (\frac{5}{3}))$

Schritt 1.1.2.3.2.7

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$d = \frac{7}{20} \cdot \frac{5}{3}$

Schritt 1.1.2.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{7}{5 (4)} \cdot \frac{5}{3}$

Schritt 1.1.2.3.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{5 \cdot 4} \cdot \frac{5}{3}$

Schritt 1.1.2.3.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.2.3.2.9

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{7}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.2.3.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$d = \frac{7}{12}$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{3}{20} - \frac{{(- \frac{7}{20})}^{2}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{20}$ an.

$e = \frac{3}{20} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{20})}^{2}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{1 {(\frac{7}{20})}^{2}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{20}$ an.

$e = \frac{3}{20} - \frac{1 \frac{7^{2}}{20^{2}}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{1 \frac{49}{20^{2}}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $20$ mit $2$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{1 (\frac{49}{400})}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{49}{400}$ mit $1$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{4 (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{- 4 (\frac{3}{10})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{10}$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{- 4 \cdot 3}{10}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{- 12}{10}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $10$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{2 (- 6)}{10}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{\frac{- 6}{5}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{3}{20} - \frac{\frac{49}{400}}{- \frac{6}{5}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{400} (- \frac{5}{6}))$

Schritt 1.1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{6}$ in den Zähler.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{400} \cdot \frac{- 5}{6})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $400$ heraus.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{5 (80)} \cdot \frac{- 5}{6})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.6.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{5 \cdot 80} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{6})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{5 \cdot 80} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{6})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{3}{20} - (\frac{49}{80} \cdot \frac{- 1}{6})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{49}{80}$ mit $\frac{- 1}{6}$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{49 \cdot - 1}{80 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.8

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{- 49}{80 \cdot 6}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.9

Mutltipliziere $80$ mit $6$ .

$e = \frac{3}{20} - \frac{- 49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{3}{20} - - \frac{49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.11

Multipliziere $- - \frac{49}{480}$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{3}{20} + 1 (\frac{49}{480})$

Schritt 1.1.2.4.2.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{49}{480}$ mit $1$ .

$e = \frac{3}{20} + \frac{49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Um $\frac{3}{20}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{24}{24}$ .

$e = \frac{3}{20} \cdot \frac{24}{24} + \frac{49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $480$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.2.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{20}$ mit $\frac{24}{24}$ .

$e = \frac{3 \cdot 24}{20 \cdot 24} + \frac{49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.3.2

Mutltipliziere $20$ mit $24$ .

$e = \frac{3 \cdot 24}{480} + \frac{49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{3 \cdot 24 + 49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$e = \frac{72 + 49}{480}$

Schritt 1.1.2.4.2.5.2

Addiere $72$ und $49$ .

$e = \frac{121}{480}$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{3}{10} {(x + \frac{7}{12})}^{2} + \frac{121}{480}$ ein.

$- \frac{3}{10} {(x + \frac{7}{12})}^{2} + \frac{121}{480}$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{3}{10} \cdot {(x + \frac{7}{12})}^{2} + \frac{121}{480}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{3}{10}$

$h = - \frac{7}{12}$

$k = \frac{121}{480}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{7}{12}, \frac{121}{480})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{3}{10})}$

Schritt 1.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{3}{10})}$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{10}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{10}}$

Schritt 1.5.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{1}{\frac{12}{10}}$

Schritt 1.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $10$ .

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Schritt 1.5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 (6)}{10}}$

Schritt 1.5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{6}{5}}$

Schritt 1.5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{5}{6}))$

Schritt 1.5.3.6

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{6}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{7}{12}, - \frac{93}{160})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{7}{12}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{521}{480}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{7}{12}, \frac{121}{480})$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{12}, - \frac{93}{160})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{7}{12}$

Leitlinie: $y = \frac{521}{480}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{7}{12}, \frac{121}{480})$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{12}, - \frac{93}{160})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{7}{12}$

Leitlinie: $y = \frac{521}{480}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{3 {(- 2)}^{2}}{10} - \frac{7 (- 2)}{20} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- 3 {(- 2)}^{2}}{10} + \frac{- 7 \cdot - 2 + 3}{20}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 3 {(- 2)}^{2}}{10} + \frac{14 + 3}{20}$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $14$ und $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 3 {(- 2)}^{2}}{10} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 3 \cdot 4}{10} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 12}{10} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $10$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f (- 2) = \frac{2 (- 6)}{10} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = \frac{- 6}{5} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{6}{5} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.3

Um $- \frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f (- 2) = - \frac{6 \cdot 4}{20} + \frac{17}{20}$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4 + 17}{20}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 24 + 17}{20}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $- 24$ und $17$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{20}$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{7}{20}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{20}$ .

$- \frac{7}{20}$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- \frac{7}{20}$ .

$y = - \frac{7}{20}$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{3 {(- 3)}^{2}}{10} - \frac{7 (- 3)}{20} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 3 {(- 3)}^{2}}{10} + \frac{- 7 \cdot - 3 + 3}{20}$

Schritt 2.5.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 3 {(- 3)}^{2}}{10} + \frac{21 + 3}{20}$

Schritt 2.5.1.2.2

Addiere $21$ und $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 3 {(- 3)}^{2}}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- 3) = \frac{(- 3) {(- 3)}^{2}}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{1 + 2}}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{24}{20}$

Schritt 2.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{4 (6)}{20}$

Schritt 2.5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5}$

Schritt 2.5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5}$

Schritt 2.5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{6}{5}$

Schritt 2.5.3

Um $\frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{6}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{10} + \frac{6 \cdot 2}{10}$

Schritt 2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 27 + 6 \cdot 2}{10}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 12}{10}$

Schritt 2.5.6.2

Addiere $- 27$ und $12$ .

$f (- 3) = \frac{- 15}{10}$

Schritt 2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$f (- 3) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Schritt 2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (- 3) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{3 {(0)}^{2}}{10} - \frac{7 (0)}{20} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{- 3 {(0)}^{2}}{10} + \frac{- 7 \cdot 0 + 3}{20}$

Schritt 2.8.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{- 3 {(0)}^{2}}{10} + \frac{0 + 3}{20}$

Schritt 2.8.1.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (0) = \frac{- 3 {(0)}^{2}}{10} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{- 3 \cdot 0}{10} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{10} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.8.2.3

Dividiere $0$ durch $10$ .

$f (0) = 0 + \frac{3}{20}$

Schritt 2.8.3

Addiere $0$ und $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = \frac{3}{20}$

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{20}$ .

$\frac{3}{20}$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $\frac{3}{20}$ .

$y = \frac{3}{20}$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{3 {(1)}^{2}}{10} - \frac{7 (1)}{20} + \frac{3}{20}$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{- 3 {(1)}^{2}}{10} + \frac{- 7 \cdot 1 + 3}{20}$

Schritt 2.11.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{- 3 {(1)}^{2}}{10} + \frac{- 7 + 3}{20}$

Schritt 2.11.1.2.2

Addiere $- 7$ und $3$ .

$f (1) = \frac{- 3 {(1)}^{2}}{10} + \frac{- 4}{20}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{- 3 \cdot 1}{10} + \frac{- 4}{20}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{- 3}{10} + \frac{- 4}{20}$

Schritt 2.11.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{3}{10} + \frac{- 4}{20}$

Schritt 2.11.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (1) = - \frac{3}{10} + \frac{4 (- 1)}{20}$

Schritt 2.11.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (1) = - \frac{3}{10} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}$

Schritt 2.11.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1) = - \frac{3}{10} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}$

Schritt 2.11.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1) = - \frac{3}{10} + \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.11.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{3}{10} - \frac{1}{5}$

Schritt 2.11.3

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{10} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.11.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{10} - \frac{2}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.11.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (1) = - \frac{3}{10} - \frac{2}{10}$

Schritt 2.11.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{- 3 - 2}{10}$

Schritt 2.11.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 5}{10}$

Schritt 2.11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (1) = \frac{5 (- 1)}{10}$

Schritt 2.11.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (1) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.11.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.11.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.11.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.11.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - \frac{7}{20} \\ - \frac{7}{12} & \frac{121}{480} \\ 0 & \frac{3}{20} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{7}{12}, \frac{121}{480})$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{12}, - \frac{93}{160})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{7}{12}$

Leitlinie: $y = \frac{521}{480}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - \frac{7}{20} \\ - \frac{7}{12} & \frac{121}{480} \\ 0 & \frac{3}{20} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 4