Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 3 x = 5$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 3 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 2

Setze ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $x^{2} + 3 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 3 x = 5$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} = 5$

Schritt 3

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = 5 + \frac{9}{4}$

Schritt 4

Vereinfache $5 + \frac{9}{4}$ .

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Schritt 4.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{5 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{20 + 9}{4}$

Schritt 4.4.2

Addiere $20$ und $9$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{29}{4}$

Schritt 5

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 6

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{29}}{2}$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = 0$

Schritt 7

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- \frac{3}{2}, 0)$

Schritt 8

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- \frac{3}{2}, 0)$

Radius: $\frac{\sqrt{29}}{2}$

Schritt 9