Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{64 - 49 x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{64 - 49 x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 + 7 x = 0$

$8 - 7 x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $8 + 7 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $8 + 7 x$ gleich $0$ .

$8 + 7 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Löse $8 + 7 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 8$

Schritt 1.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 8$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 8$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Schritt 1.2.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{7}$

Schritt 1.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{7}$

Schritt 1.2.3

Setze $8 - 7 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $8 - 7 x$ gleich $0$ .

$8 - 7 x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $8 - 7 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x = - 8$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 8$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 8$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{8}{7}$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - \frac{8}{7}, \frac{8}{7}$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{8}{7}$

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$

$x > \frac{8}{7}$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{8}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{8}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8 + 7 (- 4)) (8 - 7 \cdot - 4) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 720$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8 + 7 (0)) (8 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $64$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{8}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{8}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8 + 7 (4)) (8 - 7 \cdot 4) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 720$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{8}{7}$ Falsch

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Wahr

$x > \frac{8}{7}$ Falsch

$x < - \frac{8}{7}$ Falsch

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Wahr

$x > \frac{8}{7}$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = \sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{8}{7}$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (- \frac{8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 - 8) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (\frac{- 8}{7}))}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 (- 1) (\frac{- 8}{7}))}$

Schritt 2.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{- 8}{7})))}$

Schritt 2.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 1 \cdot - 8)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 8)}$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $8$ und $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 \cdot 16}$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $0$ mit $16$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.4.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{8}{7}) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{8}{7}$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Schritt 2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 8) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Schritt 2.4.2

Addiere $8$ und $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 (- 1) (\frac{8}{7}))}$

Schritt 2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{8}{7})))}$

Schritt 2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 8)}$

Schritt 2.4.4.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 \cdot 0}$

Schritt 2.4.4.3

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.4.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{8}{7}) = 0$

Schritt 2.4.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$ .

$(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$

Schritt 4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0),$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{7} & 0 \\ \frac{8}{7} & 0 \end{array}$

Schritt 5