Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{4 x + 1}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{4 x + 1}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x + 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq - 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $- \frac{1}{4}$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (- \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (\frac{- 1}{4}) + 1}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{4 (\frac{- 1}{4}) + 1}$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{- 1 + 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(- \frac{1}{4}, 0)$ .

$(- \frac{1}{4}, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 0, 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (0) + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (1) + 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 + 1}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f (1) = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 3)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 (2) + 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2) = \sqrt{8 + 1}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f (2) = \sqrt{9}$

Schritt 4.3.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2) = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 3$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 4.4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 0.25, 0), (- 0, 1), (1, 2.24), (2, 3)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 0.25 & 0 \\ - 0 & 1 \\ 1 & 2.24 \\ 2 & 3 \end{array}$

Schritt 5