Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Schritt 1

Addiere $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ um.

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 1)$ an.

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Stelle so um, dass $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Schritt 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ als ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.2.5.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.5.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.5.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Schritt 7.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 7.3.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Schritt 7.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Schritt 7.5

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.5.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.6

Setze $x^{2} - 3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $x^{2} - 3 x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Schritt 7.6.2

Löse $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Schritt 11