Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + 3 y - 3 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - 3 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = - x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - x^{2} + 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - x^{2} + 3$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 1$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{3} + 1$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 1$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 3)$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Schritt 2.1.1.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$d = 0$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = 1 - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 1 - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 1 - (0 (- \frac{3}{4}))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Multipliziere $0 (- \frac{3}{4})$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 1 - (0 (\frac{3}{4}))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{4}$ .

$e = 1 - 0$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 1 + 0$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e = 1$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + 1$ ein.

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + 1$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 1$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 1)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Schritt 2.5.3.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, \frac{1}{4})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 1)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 1)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + 1$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + 1$

Schritt 3.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- 4 + 3}{3}$

Schritt 3.5.4

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{3} + 1$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3)}^{2}$ und $3$ .

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Schritt 3.8.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus ${(3)}^{2}$ heraus.

$f (3) = - \frac{3 \cdot 3}{3} + 1$

Schritt 3.8.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (3) = - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 1$

Schritt 3.8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 1$

Schritt 3.8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = - \frac{3}{1} + 1$

Schritt 3.8.1.1.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (3) = - 1 \cdot 3 + 1$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = - 3 + 1$

Schritt 3.8.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$f (3) = - 2$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + 1$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{1}{3} + 1$

Schritt 3.11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Schritt 3.11.2.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (1) = \frac{2}{3}$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{1}{3} \\ - 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \\ 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 1)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{1}{3} \\ - 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \\ 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 2 \end{array}$

Schritt 5