Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + 4 y = 4$

Schritt 4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = 4 + 1$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 4 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 5.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 2)}^{2} - 4$ ein.

${(y + 2)}^{2} - 4$

Schritt 6

Setze ${(y + 2)}^{2} - 4$ für $y^{2} + 4 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 4 + 1$

Schritt 7

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4 + 1 + 4$

Schritt 8

Vereinfache $4 + 1 + 4$ .

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Schritt 8.1

Addiere $4$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5 + 4$

Schritt 8.2

Addiere $5$ und $4$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 3$

$h = 1$

$k = - 2$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(1, - 2)$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(1, - 2)$

Radius: $3$

Schritt 13