Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + 9 y^{2} = 25$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $25$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{9 y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{9}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = \frac{5}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{9}}$

Schritt 5.3.5

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $25$ und $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}$

Schritt 5.3.8.2

Subtrahiere $25$ von $225$ .

$\sqrt{\frac{200}{9}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{200}{9}}$ als $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ um.

$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $200$ als $10^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.10.1.1

Faktorisiere $100$ aus $200$ heraus.

$\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}$

Schritt 5.3.10.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 5, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(5, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (5), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 5, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{10 \sqrt{2}}{3}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$\frac{\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.5

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.6

Kombiniere $25$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.8.1

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.8.2

Subtrahiere $25$ von $225$ .

$\frac{\sqrt{\frac{200}{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.9

Schreibe $\sqrt{\frac{200}{9}}$ als $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.10.1

Schreibe $200$ als $10^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.1.10.1.1

Faktorisiere $100$ aus $200$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.10.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Schritt 8.3.1.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1.11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.1.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{3}}{5}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 10