Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + 8 x + 4 y + 8 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + 4 y + 8 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y + 8 = - x^{2} - 8 x$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - x^{2} - 8 x - 8$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x + \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.2.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 4$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = 4$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$e = - 2 - - 4$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = - 2 + 4$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$e = 2$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 2$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4, 1)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 4$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 3$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- 4, 1)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 3$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- 4, 1)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 3$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = - \frac{{(- 6)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = - \frac{36}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $36$ durch $4$ .

$f (- 6) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- 6) = - 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = - 9 + 12 - 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $- 9$ und $12$ .

$f (- 6) = 3 - 2$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (- 6) = 1$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 6$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + 10 - 2$

Schritt 3.5.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} - 2$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Schritt 3.5.2.3

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} - 2$

Schritt 3.5.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.5.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.5.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{- 25 + 10 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 8}{4}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.5.5.1

Addiere $- 25$ und $40$ .

$f (- 5) = \frac{15 - 8}{4}$

Schritt 3.5.5.2

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$f (- 5) = \frac{7}{4}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 5$ ist $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 2 - 2$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.8.1.1

Schreibe $- 2 \cdot - 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} - 2$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} - 2$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.8.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.8.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.3.3

Multipliziere $- 2 \cdot - 2 \cdot 4$ .

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Schritt 3.8.3.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.8.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 8}{4}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.4.1

Addiere $- 4$ und $16$ .

$f (- 2) = \frac{12 - 8}{4}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4}$

Schritt 3.8.4.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$f (- 2) = 1$

Schritt 3.8.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + 6 - 2$

Schritt 3.11.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} - 2$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Schritt 3.11.2.3

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} - 2$

Schritt 3.11.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.11.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.11.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 9 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.11.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 8}{4}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.11.5.1

Addiere $- 9$ und $24$ .

$f (- 3) = \frac{15 - 8}{4}$

Schritt 3.11.5.2

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$f (- 3) = \frac{7}{4}$

Schritt 3.11.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- 4, 1)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Schritt 5