Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} - 2 x + 4 y - 5 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x + 4 y - 5 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 5 = - x^{2} + 2 x$

Schritt 1.1.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} (- (1 \cdot 2))$

Schritt 2.1.1.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- (1 \cdot 2)$ heraus.

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 2.1.1.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot (1)$

Schritt 2.1.1.3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{4}}{- 1}$ .

$e = \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{4}$ als $- \frac{1}{4}$ um.

$e = \frac{5}{4} - - \frac{1}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{5}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 + 1}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$e = \frac{6}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, \frac{3}{2})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, \frac{1}{2})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{3}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{3}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $0$ und $5$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + 0$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $\frac{5}{4}$ und $0$ .

$f (0) = \frac{5}{4}$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.3

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 3.5.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.3.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.8.3.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + 1$

Schritt 3.8.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{1 + 4}{4}$

Schritt 3.8.3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$f (2) = \frac{5}{4}$

Schritt 3.8.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.3.1

Addiere $- 9$ und $5$ .

$f (3) = \frac{- 4}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.3.2

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$f (3) = - 1 + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}$

Schritt 3.11.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{- 2 + 3}{2}$

Schritt 3.11.7.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (3) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.11.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{3}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 5