Algebravorstufe Beispiele

$y^{2} + 6 y + x + 10 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y + x + 10 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 10 = - y^{2} - 6 y$

Schritt 1.3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - y^{2} - 6 y - 10$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 6 y - 10$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - 10$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$d = - - 3$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$d = 3$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 10 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = - 10 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 10 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = - 10 - - 9$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = - 10 + 9$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $- 10$ und $9$ .

$e = - 1$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 3)}^{2} - 1$ ein.

$- {(y + 3)}^{2} - 1$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y + 3)}^{2} - 1$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = - 3$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{4}, - 3)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = - \frac{3}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = - \frac{3}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = - 3 + \sqrt{- x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, - 1.58578643)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{- (- 3) - 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{3 - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (- 3) = - 3 + \sqrt{2}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 + \sqrt{2}$ .

$y = - 3 + \sqrt{2}$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $- 3 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 1.58578643$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = - 3 - \sqrt{- x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, - 4.41421356)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{- (- 3) - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{3 - 1}$

Schritt 3.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (- 3) = - 3 - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 - \sqrt{2}$ .

$y = - 3 - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $- 3 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 4.41421356$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = - 3 + \sqrt{- x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, - 2)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{- (- 2) - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{2 - 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (- 2) = - 3 + \sqrt{1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $- 2$ nach Dezimal.

$= - 2$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = - 3 - \sqrt{- x - 1}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, - 4)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{- (- 2) - 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{2 - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (- 2) = - 3 - \sqrt{1}$

Schritt 3.4.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = - 3 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 2) = - 3 - 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$f (- 2) = - 4$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $- 4$ nach Dezimal.

$= - 4$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 1.59 \\ - 3 & - 4.41 \\ - 2 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 1.59 \\ - 3 & - 4.41 \\ - 2 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Schritt 5