Algebravorstufe Beispiele

$y^{2} + 4 x^{2} > 4$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y^{2} > 4 - 4 x^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | > \sqrt{4 - 4 x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - 4 x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 - 4 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$| y | > \sqrt{4 (1) - 4 x^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$| y | > \sqrt{4 (1) + 4 (- x^{2})}$

Schritt 3.2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- x^{2})$ heraus.

$| y | > \sqrt{4 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| y | > \sqrt{4 (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$| y | > \sqrt{4 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $4 (1 + x) (1 - x)$ als $2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))$ um.

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Schritt 3.2.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| y | > \sqrt{2^{2} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.2.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| y | > \sqrt{2^{2} (1^{2} + x) (1 - x)}$

Schritt 3.2.1.4.3

Füge Klammern hinzu.

$| y | > \sqrt{2^{2} ((1^{2} + x) (1 - x))}$

Schritt 3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | > | 2 | \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Schritt 3.2.1.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| y | > 2 \sqrt{(1^{2} + x) (1 - x)}$

Schritt 3.2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Schreibe $| y | > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 0$ .

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Schritt 4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache $(1 + x) (1 - x)$ .

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 1$

Schritt 4.3.1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.2.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Schritt 4.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Schritt 4.3.1.2.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.3.1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Schritt 4.3.1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.2.5.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \leq 1$

Schritt 4.3.1.2.6

Schreibe $| x | \leq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.3.1.2.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 1$

Schritt 4.3.1.2.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.3.1.2.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 1$

Schritt 4.3.1.2.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.3.1.2.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 1$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Schritt 4.3.1.2.8

Löse $- x \leq 1$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 4.3.1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.8.1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \geq - 1$

Schritt 4.3.1.2.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 1$ und $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Schritt 4.3.1.2.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 4.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 1]$

Schritt 4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $[- 1, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Schritt 4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 0$ .

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Schritt 4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1

Vereinfache $(1 + x) (1 - x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - x) + x (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 - x + x + x (- x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - x + x - x \cdot x \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - x + x - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$1 + 0 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 1$

Schritt 4.6.1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Schritt 4.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Schritt 4.6.1.2.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.6.1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.1.2.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Schritt 4.6.1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.1.2.5.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \leq 1$

Schritt 4.6.1.2.6

Schreibe $| x | \leq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.6.1.2.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 1$

Schritt 4.6.1.2.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.6.1.2.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 1$

Schritt 4.6.1.2.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.6.1.2.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 1$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Schritt 4.6.1.2.8

Löse $- x \leq 1$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 4.6.1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.6.1.2.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.8.1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \geq - 1$

Schritt 4.6.1.2.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 1$ und $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Schritt 4.6.1.2.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 4.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 1]$

Schritt 4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 0$ und $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq y < 0$

Schritt 4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} & - 1 \leq y < 0 \end{cases}$

Schritt 5

Bestimme die Schnittmenge von $y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und $0 \leq y \leq 1$ .

Keine Lösung

Schritt 6

Löse $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ , wenn $- 1 \leq y < 0$ ergibt.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Teile jeden Term in $- y > 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ als $- (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ um.

$y < - (2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und $- 1 \leq y < 0$ .

$- 1 \leq y < N o (Min i m u m)$

Schritt 7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Schritt 8