Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y}{25} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{x^{2}}{49}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{25} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{y}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 25 \cdot 1 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 1.3.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$y = 25 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 1.3.2.1.3

Kombiniere $25$ und $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y = 25 + \frac{25 x^{2}}{49}$

Schritt 1.4

Stelle $25$ und $\frac{25 x^{2}}{49}$ um.

$y = \frac{25 x^{2}}{49} + 25$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{25 x^{2}}{49} + 25$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{25}{49}$

$b = 0$

$c = 25$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (\frac{25}{49})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{25}{49})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{25}{49})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{\frac{25}{49}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (\frac{49}{25})$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{49}{25}$ .

$d = 0$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{25}{49})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 (\frac{25}{49})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{25}{49}$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 25 - \frac{0}{\frac{100}{49}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 25 - (0 (\frac{49}{100}))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{49}{100}$ .

$e = 25 - 0$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 25 + 0$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $25$ und $0$ .

$e = 25$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$ ein.

$\frac{25}{49} {(x + 0)}^{2} + 25$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{25}{49} \cdot {(x + 0)}^{2} + 25$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{25}{49}$

$h = 0$

$k = 25$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 25)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{49}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{25}{49}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{49}}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{49}}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{49}{100})$

Schritt 2.5.3.4

Mutltipliziere $\frac{49}{100}$ mit $1$ .

$\frac{49}{100}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, \frac{2549}{100})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{2451}{100}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 25)$

Brennpunkt: $(0, \frac{2549}{100})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{2451}{100}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 25)$

Brennpunkt: $(0, \frac{2549}{100})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{2451}{100}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{25 {(- 1)}^{2}}{49} + 25$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25$

Schritt 3.2.2

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $25$ und $\frac{49}{49}$ .

$f (- 1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $49$ .

$f (- 1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $25$ und $1225$ .

$f (- 1) = \frac{1250}{49}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{25 {(- 2)}^{2}}{49} + 25$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25$

Schritt 3.5.2

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $25$ und $\frac{49}{49}$ .

$f (- 2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $49$ .

$f (- 2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Schritt 3.5.5.2

Addiere $100$ und $1225$ .

$f (- 2) = \frac{1325}{49}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{25 {(1)}^{2}}{49} + 25$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{25 \cdot 1}{49} + 25$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25$

Schritt 3.8.2

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $25$ und $\frac{49}{49}$ .

$f (1) = \frac{25}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{25 + 25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $49$ .

$f (1) = \frac{25 + 1225}{49}$

Schritt 3.8.5.2

Addiere $25$ und $1225$ .

$f (1) = \frac{1250}{49}$

Schritt 3.8.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1250}{49}$ .

$\frac{1250}{49}$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $\frac{1250}{49}$ .

$y = \frac{1250}{49}$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{25 {(2)}^{2}}{49} + 25$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{25 \cdot 4}{49} + 25$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25$

Schritt 3.11.2

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + 25 \cdot \frac{49}{49}$

Schritt 3.11.3

Kombiniere $25$ und $\frac{49}{49}$ .

$f (2) = \frac{100}{49} + \frac{25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{100 + 25 \cdot 49}{49}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $49$ .

$f (2) = \frac{100 + 1225}{49}$

Schritt 3.11.5.2

Addiere $100$ und $1225$ .

$f (2) = \frac{1325}{49}$

Schritt 3.11.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1325}{49}$ .

$\frac{1325}{49}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{1325}{49}$ .

$y = \frac{1325}{49}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 25)$

Brennpunkt: $(0, \frac{2549}{100})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = \frac{2451}{100}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{1325}{49} \\ - 1 & \frac{1250}{49} \\ 0 & 25 \\ 1 & \frac{1250}{49} \\ 2 & \frac{1325}{49} \end{array}$

Schritt 5