Algebravorstufe Beispiele

$y^{2} - 4 y = 2 x + 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 x + 4 = y^{2} - 4 y$ um.

$2 x + 4 = y^{2} - 4 y$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = y^{2} - 4 y - 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 y}{1} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.4

Dividiere $- 2 y$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.1.2

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 4.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$ an.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Schritt 4.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 4.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{2}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 4.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 2 - 2$

Schritt 4.1.1.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$e = - 4$

Schritt 4.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$ ein.

$\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 4.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 4$

$k = 2$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 4.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{7}{2}, 2)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{9}{2}$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{9}{2}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{9}{2}$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, 3.41421356)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Schritt 5.1.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $2 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 3.41421356$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, 0.58578643)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $2 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 0.58578643$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 4)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{4}$

Schritt 5.3.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2) = 2 + \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2) = 2 + 2$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f (- 2) = 4$

Schritt 5.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $4$ nach Dezimal.

$= 4$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 0)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{4}$

Schritt 5.4.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2) = 2 - \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2) = 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 5.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 2) = 2 - 2$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- 2) = 0$

Schritt 5.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 2)$

Brennpunkt: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = - \frac{9}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Schritt 7