Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + 6 x + 12 > 4$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 6 x + 12 = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x + 12 - 4 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 4) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 4$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$x > - 2$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} + 6 (- 6) + 12 > 4$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 12 > 4$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 6 (0) + 12 > 4$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $x > - 2$

Schritt 12