Algebravorstufe Beispiele

$- 1 < \frac{2 x \cdot x - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Schritt 1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1

Bewege $x$ .

$- 1 < \frac{2 (x \cdot x) - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 1 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x \cdot x - 2 x + 3} < 1$

Schritt 2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 1 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} < 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in der Ungleichung mit $x^{2} - 2 x + 3$ .

$- (x^{2} - 2 x + 3) < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 \cdot 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- x^{2} + 2 x - 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + 2 x - 3 < \frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 3) < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 2 x - 3 < 2 x^{2} - 3 x - 1 < 1 (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 7

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x + 3$ mit $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 3 < 2 x^{2} - 3 x - 1 < x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 8

Entferne alle Terme, die $x$ nicht enthalten, aus dem mittleren Abschnitt der Ungleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ zu jedem Abschnitt der Ungleichung, da es die Variable, nach der wir auflösen wollen, nicht enthält.

$- x^{2} + 2 x - 3 + 1 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 3 + 1$

Schritt 8.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 3 + 1$

Schritt 8.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 < 2 x^{2} - 3 x < x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 9

Teile jeden Term in der Ungleichung durch $2$ .

$\frac{- x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 10.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 2}{2} < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 10.3

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 11.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} + \frac{- 3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 12.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{4}{2}$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{4}{2}$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{4}{2}$

Schritt 12.1.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{4}{2}$

Schritt 12.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - 1 < x^{2} - \frac{3 x}{2} < \frac{x^{2}}{2} - x + 2$

Schritt 13

Ziehe die Wurzel vom Grad $2$ aus jedem Ausdruck, um eine einzelne $x$ -Variable zu isolieren.

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + x - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 14

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 15

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{- x^{2} + x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 17

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 17.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{x (- x) + x \cdot 2}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 17.2

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2$ heraus.

$\sqrt{\frac{x (- x) + x (2)}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 17.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (2)$ heraus.

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} - 1} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 18

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 19

Vereinfache Terme.

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Schritt 19.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x (- x + 2)}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 19.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x (- x + 2) - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{x (- x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{\frac{- x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt{\frac{- x \cdot x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.4.1

Bewege $x$ .

$\sqrt{\frac{- (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 20.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 21

Schreibe $\sqrt{\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{2}}$ als $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 22

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 23.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 23.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 23.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 2} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 24

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(- x^{2} + 2 x - 2) \cdot 2}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 25

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{(- x^{2} + 2 x - 2) \cdot 2}}{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x^{2} - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 26

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - \frac{3 x}{2}$ heraus.

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Schritt 26.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x \cdot x - \frac{3 x}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 26.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{3 x}{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x \cdot x + x (- \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 26.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- \frac{3}{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (x - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 27

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 28

Vereinfache Terme.

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Schritt 28.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 28.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{x \cdot 2 - 3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 29

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{x (\frac{2 x - 3}{2})} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 30

Kombiniere $x$ und $\frac{2 x - 3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \sqrt{\frac{x (2 x - 3)}{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 31

Schreibe $\sqrt{\frac{x (2 x - 3)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 32

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 33.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x (2 x - 3)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 33.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 33.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 33.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3)} \sqrt{2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 34

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{x (2 x - 3) \cdot 2}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 35

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{x (2 x - 3) \cdot 2}}{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2}$

Schritt 36

Multipliziere jeden Term in der Ungleichung mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} \cdot 2 < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Schritt 37

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 37.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)}}{2} \cdot 2 < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Schritt 37.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Schritt 38

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 38.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \frac{\sqrt{2 x (2 x - 3)}}{2} \cdot 2 < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Schritt 38.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x + 2} \cdot 2$

Schritt 39

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 40

Vereinfache Terme.

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Schritt 40.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 40.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 41

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 41.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 41.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 41.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2$ heraus.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 41.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 41.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + 2} \cdot 2$

Schritt 42

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 2$

Schritt 43

Vereinfache Terme.

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Schritt 43.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Schritt 43.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x (x - 2) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Schritt 44

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 44.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Schritt 44.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Schritt 44.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2$

Schritt 44.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 4}{2}} \cdot 2$

Schritt 45

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 4}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}} \cdot 2$

Schritt 46

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 2$

Schritt 47

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 47.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Schritt 47.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Schritt 47.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2$

Schritt 47.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 2$

Schritt 47.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 2$

Schritt 47.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 47.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2$

Schritt 47.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 2$

Schritt 47.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Schritt 47.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 47.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Schritt 47.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 47.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} \sqrt{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 48

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}}{2} \cdot 2$

Schritt 49

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 49.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \frac{\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}}{2} \cdot 2$

Schritt 49.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}$

Schritt 50

Stelle die Faktoren in $\sqrt{(x^{2} - 2 x + 4) \cdot 2}$ um.

$\sqrt{2 (- x^{2} + 2 x - 2)} < \sqrt{2 x (2 x - 3)} < \sqrt{2 (x^{2} - 2 x + 4)}$

Schritt 51