Algebravorstufe Beispiele

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Schritt 1.1.2

Addiere $161$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Schritt 1.1.3

Addiere $54$ und $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 x^{2} + 64 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{32}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $16$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4096$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ ein.

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Schritt 1.3

Setze $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ für $16 x^{2} + 64 x$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Schritt 1.4

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Schritt 1.5

Addiere $215$ und $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $279$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 2, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{31}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 5.3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 5.3.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Schritt 5.3.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Schritt 5.3.4

Um $31$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $31$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Schritt 5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $31$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $279$ und $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Schritt 5.3.8

Schreibe $\sqrt{\frac{775}{16}}$ als $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.9.1

Schreibe $775$ als $5^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 5.3.9.1.1

Faktorisiere $25$ aus $775$ heraus.

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.9.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{31}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 8.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 8.3.4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 8.3.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.4.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.5

Um $31$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $31$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.8.1

Mutltipliziere $31$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.8.2

Addiere $279$ und $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{775}{16}}$ als $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.10.1

Schreibe $775$ als $5^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 8.3.10.1.1

Faktorisiere $25$ aus $775$ heraus.

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.10.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.11.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{31}$ .

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Schritt 8.3.12.1.1

Faktorisiere $\sqrt{31}$ aus $5 \sqrt{31}$ heraus.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Schritt 8.3.12.1.2

Faktorisiere $\sqrt{31}$ aus $3 \sqrt{31}$ heraus.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Schritt 8.3.12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Schritt 8.3.12.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 8.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 8.3.12.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{1}{3})$

Schritt 8.3.12.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\sqrt{31}}^{2}$ und $\sqrt{31}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{31}$ aus ${\sqrt{31}}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{31}$ aus $5 \sqrt{31}$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{31}}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1.1

Addiere $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ und $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Schritt 11.2.4

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 11.2.4.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1.1

Addiere $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ und $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Schritt 12.2.4

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Schritt 12.2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Schritt 12.2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 12.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 2, 0)$

Scheitelpunkte: $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Brennpunkte: $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{5}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Asymptoten: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15