Algebravorstufe Beispiele

$12 x - 0.1 x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Stelle $12 x$ und $- 0.1 x^{2}$ um.

$y = - 0.1 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 0.1 x^{2} + 12 x$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 0.1$

$b = 12$

$c = 0$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 0.1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 0.1)}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{- 0.1}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Dividiere $6$ durch $- 0.1$ .

$d = - 60$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 0.4}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 0.4$ .

$e = 0 - - 360$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 360$ .

$e = 0 + 360$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $360$ .

$e = 360$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 0.1 {(x - 60)}^{2} + 360$ ein.

$- 0.1 {(x - 60)}^{2} + 360$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 0.1 {(x - 60)}^{2} + 360$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 0.1$

$h = 60$

$k = 360$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(60, 360)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 0.1}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.1$ .

$\frac{1}{- 0.4}$

Schritt 1.5.3.2

Dividiere $1$ durch $- 0.4$ .

$- 2.5$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(60, 357.5)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 60$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 362.5$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(60, 360)$

Brennpunkt: $(60, 357.5)$

Symmetrieachse: $x = 60$

Leitlinie: $y = 362.5$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(60, 360)$

Brennpunkt: $(60, 357.5)$

Symmetrieachse: $x = 60$

Leitlinie: $y = 362.5$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $59$ .

$f (59) = - 0.1 {(59)}^{2} + 12 (59)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $59$ mit $2$ .

$f (59) = - 0.1 \cdot 3481 + 12 (59)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $3481$ .

$f (59) = - 348.1 + 12 (59)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $59$ .

$f (59) = - 348.1 + 708$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 348.1$ und $708$ .

$f (59) = 359.9$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $359.9$ .

$359.9$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 59$ ist $359.9$ .

$y = 359.9$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $58$ .

$f (58) = - 0.1 {(58)}^{2} + 12 (58)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $58$ mit $2$ .

$f (58) = - 0.1 \cdot 3364 + 12 (58)$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $3364$ .

$f (58) = - 336.4 + 12 (58)$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $58$ .

$f (58) = - 336.4 + 696$

Schritt 2.5.2

Addiere $- 336.4$ und $696$ .

$f (58) = 359.6$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $359.6$ .

$359.6$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 58$ ist $359.6$ .

$y = 359.6$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $61$ .

$f (61) = - 0.1 {(61)}^{2} + 12 (61)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $61$ mit $2$ .

$f (61) = - 0.1 \cdot 3721 + 12 (61)$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $3721$ .

$f (61) = - 372.1 + 12 (61)$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $61$ .

$f (61) = - 372.1 + 732$

Schritt 2.8.2

Addiere $- 372.1$ und $732$ .

$f (61) = 359.9$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $359.9$ .

$359.9$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 61$ ist $359.9$ .

$y = 359.9$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $62$ .

$f (62) = - 0.1 {(62)}^{2} + 12 (62)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $62$ mit $2$ .

$f (62) = - 0.1 \cdot 3844 + 12 (62)$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $3844$ .

$f (62) = - 384.4 + 12 (62)$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $62$ .

$f (62) = - 384.4 + 744$

Schritt 2.11.2

Addiere $- 384.4$ und $744$ .

$f (62) = 359.6$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $359.6$ .

$359.6$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 62$ ist $359.6$ .

$y = 359.6$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 58 & 359.6 \\ 59 & 359.9 \\ 60 & 360 \\ 61 & 359.9 \\ 62 & 359.6 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(60, 360)$

Brennpunkt: $(60, 357.5)$

Symmetrieachse: $x = 60$

Leitlinie: $y = 362.5$

$\begin{array}{c} x & y \\ 58 & 359.6 \\ 59 & 359.9 \\ 60 & 360 \\ 61 & 359.9 \\ 62 & 359.6 \end{array}$

Schritt 4