Algebravorstufe Beispiele

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $203$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $18 x^{2} - 126 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 126$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 126$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 63}{18}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 63$ und $18$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 63$ heraus.

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{2}$

Schritt 1.2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 126$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $18$ .

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15876$ und $72$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $36$ aus $15876$ heraus.

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{441}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{441}{2}$ von $0$ .

$e = - \frac{441}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ ein.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

Schritt 1.3

Setze $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ für $18 x^{2} - 126 x$ ein in der Gleichung $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

Schritt 1.4

Bringe $- \frac{441}{2}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{441}{2}$ auf beiden Seiten.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{2}$ und $2$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2$ heraus.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ ein.

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Setze $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ für $2 y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

Schritt 1.7

Bringe $- \frac{1}{2}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{2}$ auf beiden Seiten.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.2.1

Addiere $441$ und $1$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

Schritt 1.8.2.2

Dividiere $442$ durch $2$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

Schritt 1.8.2.3

Addiere $- 203$ und $221$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $18$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{9 - 1}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

Schritt 8.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 10