Algebravorstufe Beispiele

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y - 206 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $206$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} + 100 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{50}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ ein.

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Schritt 1.3

Setze $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ für $25 x^{2} + 100 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 - 9 y^{2} - 54 y = 206$

Schritt 1.4

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 206 + 100$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 9 y^{2} - 54 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 27}{- 9}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $- 9$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 27$ heraus.

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $81$ .

$e = 81$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ ein.

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

Schritt 1.6

Setze $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ für $- 9 y^{2} - 54 y$ ein in der Gleichung $25 x^{2} - 9 y^{2} + 100 x - 54 y = 206$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 206 + 100$

Schritt 1.7

Bringe $81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 206 + 100 - 81$

Schritt 1.8

Vereinfache $206 + 100 - 81$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $206$ und $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 306 - 81$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $81$ von $306$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 3$

$h = - 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 2, - 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + 25}$

Schritt 5.3.3

Addiere $9$ und $25$ .

$\sqrt{34}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, - 3)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 5, - 3)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(1, - 3), (- 5, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

Schritt 8.3.3

Addiere $9$ und $25$ .

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{25}{\sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{25}{\sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} - 3$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3$

Schritt 11.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{10 - 9}{3}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{5}{3} \cdot (x - (- 2)) - 3$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x + 2) - 3$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 2 - 3$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - 2 (\frac{5}{3}) - 3$

Schritt 12.2.1.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 2 \cdot 5}{3} - 3$

Schritt 12.2.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Schritt 12.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{3} + \frac{- 10}{3} - 3$

Schritt 12.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3$

Schritt 12.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 3 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 10 - 9}{3}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $- 10$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{- 19}{3}$

Schritt 12.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}, y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 2, - 3)$

Scheitelpunkte: $(1, - 3), (- 5, - 3)$

Brennpunkte: $(- 2 + \sqrt{34}, - 3), (- 2 - \sqrt{34}, - 3)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$ , $y = - \frac{5 x}{3} - \frac{19}{3}$

Schritt 15