Algebravorstufe Beispiele

$y - 2 = \frac{- 1}{8} \cdot {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{- 1}{8} \cdot {(x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{- 1}{8} \cdot {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot ((x + 3) (x + 3))$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x (x + 3) + 3 (x + 3))$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3))$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)$

Schritt 1.1.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3)$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x^{2} + 3 x + 3 x + 9)$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$y - 2 = - \frac{1}{8} \cdot (x^{2} + 6 x + 9)$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{8} (6 x) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{8}$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{8} (6 x) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 1}{8} (6 x) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 1}{2 (4)} (6 x) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 1}{2 (4)} (2 (3 x)) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 1}{2 \cdot 4} (2 (3 x)) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 1}{4} (3 x) - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.3

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{4}$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 \cdot - 1}{4} x - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 3}{4} x - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.5

Kombiniere $\frac{- 3}{4}$ und $x$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 3 x}{4} - \frac{1}{8} \cdot 9$

Schritt 1.1.6.6

Multipliziere $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

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Schritt 1.1.6.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 3 x}{4} - 9 (\frac{1}{8})$

Schritt 1.1.6.6.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{8}$ .

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 3 x}{4} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} - \frac{9}{8}$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} - \frac{9}{8} + 2$

Schritt 1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} - \frac{9}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} - \frac{9}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 8}{8}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 + 16}{8}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $- 9$ und $16$ .

$y = - \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} + \frac{7}{8}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{8} - \frac{3 x}{4} + \frac{7}{8}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$b = - \frac{3}{4}$

$c = \frac{7}{8}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.1.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Schritt 2.1.1.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $1 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Schritt 2.1.1.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Schritt 2.1.1.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{7}{8} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$e = \frac{7}{8} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$e = \frac{7}{8} - \frac{1 \frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{1 \frac{9}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{1 (\frac{9}{16})}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $1$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{7}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{7}{8} - (\frac{9}{16} (- 1 \cdot 2))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e = \frac{7}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$e = \frac{7}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{7}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{7}{8} - (\frac{9}{8} \cdot - 1)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.6

Kombiniere $\frac{9}{8}$ und $- 1$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{9 \cdot - 1}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$e = \frac{7}{8} - \frac{- 9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{7}{8} - - \frac{9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{9}{8}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{7}{8} + 1 (\frac{9}{8})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{9}{8}$ mit $1$ .

$e = \frac{7}{8} + \frac{9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{7 + 9}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Addiere $7$ und $9$ .

$e = \frac{16}{8}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $16$ durch $8$ .

$e = 2$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{8} {(x + 3)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{8} {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 2$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 2)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 2.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2)$

Schritt 2.5.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.5.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 2.5.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, 0)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 4$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- 3, 0)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 4$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- 3, 0)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 4$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{8} - \frac{3 (- 4)}{4} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = \frac{- {(- 4)}^{2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 4}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 1 \cdot 16 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 4}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $- 16$ und $7$ .

$f (- 4) = \frac{- 9}{8} + \frac{- 3 \cdot - 4}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{- 9}{8} + \frac{12}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{9}{8} + \frac{12}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Dividiere $12$ durch $4$ .

$f (- 4) = - \frac{9}{8} + 3$

Schritt 3.2.5

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- 4) = - \frac{9}{8} + 3 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (- 4) = - \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = \frac{- 9 + 3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- 4) = \frac{- 9 + 24}{8}$

Schritt 3.2.8.2

Addiere $- 9$ und $24$ .

$f (- 4) = \frac{15}{8}$

Schritt 3.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $\frac{15}{8}$ .

$y = \frac{15}{8}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{8} - \frac{3 (- 5)}{4} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{- {(- 5)}^{2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 5}{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 1 \cdot 25 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 5}{4}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 5}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Addiere $- 25$ und $7$ .

$f (- 5) = \frac{- 18}{8} + \frac{- 3 \cdot - 5}{4}$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 18}{8} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $8$ .

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Schritt 3.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$f (- 5) = \frac{2 (- 9)}{8} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 4} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 4} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5) = \frac{- 9}{4} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 5) = - \frac{9}{4} + \frac{15}{4}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{- 9 + 15}{4}$

Schritt 3.5.5.2

Addiere $- 9$ und $15$ .

$f (- 5) = \frac{6}{4}$

Schritt 3.5.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 3.5.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 5) = \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 3.5.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5) = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 5$ ist $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{8} - \frac{3 (- 2)}{4} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.3.1

Addiere $- 4$ und $7$ .

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{- 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 3.8.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{6}{4}$

Schritt 3.8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 3.8.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 3.8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.8.4

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.8.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.8.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{3}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Schritt 3.8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{3 + 3 \cdot 4}{8}$

Schritt 3.8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{3 + 12}{8}$

Schritt 3.8.7.2

Addiere $3$ und $12$ .

$f (- 2) = \frac{15}{8}$

Schritt 3.8.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $\frac{15}{8}$ .

$y = \frac{15}{8}$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{8} - \frac{3 (- 1)}{4} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.11.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 7}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.11.3.1

Addiere $- 1$ und $7$ .

$f (- 1) = \frac{6}{8} + \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.11.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{6}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 3.11.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 (3)}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 1) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.11.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{3 + 3}{4}$

Schritt 3.11.3.5

Addiere $3$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{6}{4}$

Schritt 3.11.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 3.11.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.11.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.11.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 1) = \frac{3}{2}$

Schritt 3.11.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & \frac{3}{2} \\ - 4 & \frac{15}{8} \\ - 3 & 2 \\ - 2 & \frac{15}{8} \\ - 1 & \frac{3}{2} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 2)$

Brennpunkt: $(- 3, 0)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & \frac{3}{2} \\ - 4 & \frac{15}{8} \\ - 3 & 2 \\ - 2 & \frac{15}{8} \\ - 1 & \frac{3}{2} \end{array}$

Schritt 5