Algebravorstufe Beispiele

$| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \geq 0$

Schritt 1.2.1.2

Um $- \frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Schritt 1.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

Schritt 1.2.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} \geq 0$

Schritt 1.2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 - x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.5.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{12} \geq 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 0 \cdot 12$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $12$ .

$x \geq 0$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ nicht negativ ist.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} < 0$

Schritt 1.5.1.2

Um $- \frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Schritt 1.5.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Schritt 1.5.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Schritt 1.5.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} < 0$

Schritt 1.5.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 - x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.5.1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x (4 - 3)}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.5.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{x \cdot 1}{12} < 0$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{12} < 0$

Schritt 1.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

Schritt 1.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x < 0 \cdot 12$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $12$ .

$x < 0$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ negativ ist.

$- (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$ .

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Schritt 1.8.1

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Um $- \frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 - x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.8.5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${\begin{cases} \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.1.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

${\begin{cases} \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Um $- \frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 - x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.9.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.5.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.9.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{x}{12} - 1 < 0$ , wenn $x \geq 0$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $\frac{x}{12} - 1 < 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{12} < 1$

Schritt 2.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x < 1 \cdot 12$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$x < 12$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 12$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 12$

Schritt 3

Löse $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{12} < 1$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{12} < 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{12} < 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{12}}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{12}}{1} > \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $\frac{x}{12}$ durch $1$ .

$\frac{x}{12} > \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{12} > - 1$

Schritt 3.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $12$ .

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

Schritt 3.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x > - 1 \cdot 12$

Schritt 3.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$x > - 12$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 12$ und $x < 0$ .

$- 12 < x < 0$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 12 < x < 12$

Schritt 5