Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{x^{12}}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 2

Da $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 3.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 3.1.3.5

Dividiere $| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} | \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$ $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7