Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Schritt 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ als $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ um.

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{2 x - 3})$ durch Herausziehen von $2 x - 3$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Schritt 4

Entferne die Klammern.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ als $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ um.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Schritt 6

Zerlege $\ln (3^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8

Löse die Ungleichung für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8.1.2

Stelle $\ln (3)$ und $- 2 x \ln (5)$ um.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Schritt 8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.2.2

Stelle $\ln (5)$ und $- x \ln (3)$ um.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.1.3

Vereinfache $3 \ln (5)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.3.1.4

Stelle die Faktoren in $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ um.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Schritt 8.4.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Schritt 8.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Schritt 8.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Schritt 8.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Schritt 8.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $375$ heraus.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Schritt 8.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Schritt 8.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $75$ mit $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Schritt 8.8

Subtrahiere $\ln (675)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Schritt 8.9

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (25) + x \ln (3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.9.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (25)$ heraus.

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Schritt 8.9.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Schritt 8.9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ heraus.

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Schritt 8.10

Schreibe $- 1 \ln (25)$ als $- \ln (25)$ um.

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Schritt 8.11

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ durch $- \ln (25) + \ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ durch $- \ln (25) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Schritt 8.11.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (25) + \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Schritt 8.11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Schritt 8.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Schritt 8.11.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (25)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Schritt 8.11.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Schritt 8.11.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ heraus.

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Schritt 8.11.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.3.5.1

Schreibe $- (\ln (25) - \ln (3))$ als $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ um.

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Schritt 8.11.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Schritt 8.11.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Schritt 8.11.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Schritt 10