Algebravorstufe Beispiele

${| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ gleich $(3, 0)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $1 - \frac{x}{3}$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $1 - \frac{x}{3} = 0$ .

$1 - \frac{x}{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $1 - \frac{x}{3} = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{3} = - 1$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{x}{3}) = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{x}{3})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache ${| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$ .

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

Schritt 1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = {| 1 - 1 \cdot 1 |}^{3}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = {| 1 - 1 |}^{3}$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = {| 0 |}^{3}$

Schritt 1.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$y = 0^{3}$

Schritt 1.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(3, 0)$ .

$(3, 0)$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \frac{8}{27})$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {| 1 - \frac{1}{3} |}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = {| \frac{3}{3} - \frac{1}{3} |}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = {| \frac{3 - 1}{3} |}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (1) = {| \frac{2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.1.2.4

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (1) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.1.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (1) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.1.2.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{8}{3^{3}}$

Schritt 3.1.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{8}{27}$

Schritt 3.1.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{27}$ .

$y = \frac{8}{27}$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{1}{27})$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {| 1 - \frac{2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = {| \frac{3}{3} - \frac{2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = {| \frac{3 - 2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (2) = {| \frac{1}{3} |}^{3}$

Schritt 3.2.2.4

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (2) = {(\frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 3.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (2) = \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (2) = \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 3.2.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{1}{27}$

Schritt 3.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{27}$ .

$y = \frac{1}{27}$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, \frac{8}{27})$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = {| 1 - \frac{5}{3} |}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (5) = {| \frac{3}{3} - \frac{5}{3} |}^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (5) = {| \frac{3 - 5}{3} |}^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$f (5) = {| \frac{- 2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (5) = {| - \frac{2}{3} |}^{3}$

Schritt 3.3.2.5

$- \frac{2}{3}$ ist ungefähr $- 0.\overline{6}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{2}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$f (5) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (5) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (5) = \frac{8}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (5) = \frac{8}{27}$

Schritt 3.3.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{27}$ .

$y = \frac{8}{27}$

Schritt 3.4

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(3, 0), (1, 0.3), (2, 0.04), (4, 0.04), (5, 0.3)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.3 \\ 2 & 0.04 \\ 3 & 0 \\ 4 & 0.04 \\ 5 & 0.3 \end{array}$

Schritt 4