Algebravorstufe Beispiele

${(y - 8)}^{2} = 8 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $8 x = {(y - 8)}^{2}$ um.

$8 x = {(y - 8)}^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = {(y - 8)}^{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = {(y - 8)}^{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{{(y - 8)}^{2}}{8}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{{(y - 8)}^{2}}{8}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(y - 8)}^{2}}{8}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 8)}^{2}$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 8$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 8)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 3.5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, 8)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 8$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 2$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 8)$

Brennpunkt: $(2, 8)$

Symmetrieachse: $y = 8$

Leitlinie: $x = - 2$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 8)$

Brennpunkt: $(2, 8)$

Symmetrieachse: $y = 8$

Leitlinie: $x = - 2$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 x} + 8$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 10.82842712)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 \sqrt{2 (1)} + 8$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2} + 8$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $2 \sqrt{2} + 8$ nach Dezimal.

$= 10.82842712$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 x} + 8$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 5.17157287)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 \sqrt{2 (1)} + 8$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sqrt{2} + 8$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- 2 \sqrt{2} + 8$ nach Dezimal.

$= 5.17157287$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 x} + 8$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 12)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{2 (2)} + 8$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{4} + 8$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2}} + 8$

Schritt 4.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 2 \cdot 2 + 8$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 + 8$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $4$ und $8$ .

$f (2) = 12$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$y = 12$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $12$ nach Dezimal.

$= 12$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 x} + 8$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 4)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{2 (2)} + 8$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{4} + 8$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 8$

Schritt 4.4.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = - 2 \cdot 2 + 8$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = - 4 + 8$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $- 4$ und $8$ .

$f (2) = 4$

Schritt 4.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $4$ nach Dezimal.

$= 4$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 8 \\ 1 & 10.83 \\ 1 & 5.17 \\ 2 & 12 \\ 2 & 4 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 8)$

Brennpunkt: $(2, 8)$

Symmetrieachse: $y = 8$

Leitlinie: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 8 \\ 1 & 10.83 \\ 1 & 5.17 \\ 2 & 12 \\ 2 & 4 \end{array}$

Schritt 6