Algebravorstufe Beispiele

${(x - 6)}^{2} = 9 y$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $9 y = {(x - 6)}^{2}$ um.

$9 y = {(x - 6)}^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y = {(x - 6)}^{2}$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = {(x - 6)}^{2}$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(x - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{9} \cdot {(x - 6)}^{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{9}$

$h = 6$

$k = 0$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(6, 0)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{9}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{9}}$

Schritt 2.5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{9}{4})$

Schritt 2.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, \frac{9}{4})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 6$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(6, 0)$

Brennpunkt: $(6, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 6$

Leitlinie: $y = - \frac{9}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(6, 0)$

Brennpunkt: $(6, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 6$

Leitlinie: $y = - \frac{9}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{{((5) - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$f (5) = \frac{{(- 1)}^{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{{((4) - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$f (4) = \frac{{(- 2)}^{2}}{9}$

Schritt 3.5.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{4}{9}$

Schritt 3.5.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $\frac{4}{9}$ .

$y = \frac{4}{9}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \frac{{((9) - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$f (9) = \frac{3^{2}}{9}$

Schritt 3.8.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (9) = \frac{9}{9}$

Schritt 3.8.2

Dividiere $9$ durch $9$ .

$f (9) = 1$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 9$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \frac{{((7) - 6)}^{2}}{9}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f (7) = \frac{1^{2}}{9}$

Schritt 3.11.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (7) = \frac{1}{9}$

Schritt 3.11.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 7$ ist $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{4}{9} \\ 5 & \frac{1}{9} \\ 6 & 0 \\ 7 & \frac{1}{9} \\ 9 & 1 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(6, 0)$

Brennpunkt: $(6, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 6$

Leitlinie: $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{4}{9} \\ 5 & \frac{1}{9} \\ 6 & 0 \\ 7 & \frac{1}{9} \\ 9 & 1 \end{array}$

Schritt 5