Algebravorstufe Beispiele

${(x - 4)}^{2} = - 4 (y + 1)$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ um.

$- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y + 1$ durch $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 1 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} - 1$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} - 1$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = - 1$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, - 1)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - 2)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 0$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, - 1)$

Brennpunkt: $(4, - 2)$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = 0$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, - 1)$

Brennpunkt: $(4, - 2)$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = 0$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20$ und $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{2}$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \cdot 2$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2)$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)}{4}$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{4}$

Schritt 3.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 (2)}$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = - \frac{2 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 4 \cdot 2 + 10$ und $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 2 \cdot 2)$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5}{2}$

Schritt 3.2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 (1)}$

Schritt 3.2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = - \frac{1 - 2 \cdot 2 + 5}{1}$

Schritt 3.2.2.6.4

Dividiere $1 - 2 \cdot 2 + 5$ durch $1$ .

$f (2) = - (1 - 2 \cdot 2 + 5)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = - (1 - 4 + 5)$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (2) = - (- 3 + 5)$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $- 3$ und $5$ .

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = - 2$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - \frac{9 - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f (3) = - \frac{9 - 24 + 20}{4}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $9$ .

$f (3) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Schritt 3.5.1.4

Addiere $- 15$ und $20$ .

$f (3) = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.5.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2} - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - \frac{36 - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$f (6) = - \frac{36 - 48 + 20}{4}$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $48$ von $36$ .

$f (6) = - \frac{- 12 + 20}{4}$

Schritt 3.8.1.4

Addiere $- 12$ und $20$ .

$f (6) = - \frac{8}{4}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.2.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$f (6) = - 1 \cdot 2$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (6) = - 2$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - \frac{25 - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$f (5) = - \frac{25 - 40 + 20}{4}$

Schritt 3.11.1.3

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$f (5) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Schritt 3.11.1.4

Addiere $- 15$ und $20$ .

$f (5) = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.11.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, - 1)$

Brennpunkt: $(4, - 2)$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Schritt 5