Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$\frac{3 (x^{5}) + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $54 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $108 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $- 525 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) - 1050}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $3$ aus $- 1050$ heraus.

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{5} + 3 (2 x^{4})$ heraus.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.8

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3})$ heraus.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.9

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.10

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x)$ heraus.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.1.11

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350$ heraus.

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$

Schritt 6.2

Multipliziere $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)$ aus.

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Schritt 6.2.1