Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{2 x - 6} < 4$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{2 x - 6}}^{2} < 4^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 6}$ als ${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 4^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 4^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 6)}^{1} < 4^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 6 < 4^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 x - 6 < 16$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 16 + 6$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $6$ .

$2 x < 22$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 22$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 22$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{22}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{22}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $22$ durch $2$ .

$x < 11$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{2 (x - 3)} - 4$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 (x - 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (x - 3) \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 3) \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 3) \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x - 3 \geq 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 11$

$x > 11$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (0) - 6} < 4$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (7) - 6} < 4$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2.82842712$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (14) - 6} < 4$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $4.69041575$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 11$ Wahr

$x > 11$ Falsch

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 11$ Wahr

$x > 11$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$3 < x < 11$

Schritt 8